Giả thuyết Poincare và Ngài Perelman

Cách mạng toán học thường tĩnh lặng. Không xung đột vũ trang , cũng không có tiếng súng. Tin tức nóng hổi cũng không được đưa lên trang đầu của các tạp chí. Không có định kiến. Cũng giống như buổi chiều thứ hai ẩm ướt ngày 07 tháng 4 năm 2003, tại Cambridge, Massachusetts.

Cử tọa già và trẻ tụ họp tại giảng đường của Viện Công Nghệ Massachusetts (MIT). Họ ngồi đầy trên sàn nhà, trong các lối đi, và đứng ở phía sau. Diễn giả, nhà toán học người Nga, Grigory Perelman, mặc một bộ vest sẫm màu nhăn nheo với đôi giày thể thao đế mềm bước vào khi được giới thiệu. Khuôn mặt có râu, đầu hói, lông mày rậm và đôi mắt đen dữ dội, anh thử lại micro và bắt đầu một cách do dự: “Tôi không giỏi nói chuyện dài dòng nên tôi định sẽ cắt bớt một số chi tiết để cho bài nói chuyện sinh động hơn”. Đám đông cười thầm và bài giảng bắt đầu. Anh nhặt một viên phấn trắng cực lớn và viết một phương trình ngắn có hai mươi năm tuổi đời. Phương trình đó được gọi là phương trình dòng chảy Ricci, xem xét độ cong không gian như một loại nhiệt kỳ lạ, tương tự như dòng dung nham nóng chảy, chảy từ vùng cong hơn và tìm cách lan ra các vùng có độ cong thấp hơn.

Perelman mời khán giả tưởng tượng vũ trụ của chúng ta như một thành phẩn trong một tập hợp toán học trừu tượng khổng lồ của tất cả các vũ trụ khả thi. Anh xem phương trình này như một cách mô tả chuyển động của những vũ trụ tiềm năng, những vũ trụ giống như những giọt nước đổ xuống từ vùng đồi núi khổng lồ trong một cảnh quan hùng vỹ. Khi một thành phần di chuyển, độ cong thay đổi trong giới hạn vũ trụ mà nó đại diện và ở một số vùng độ cong này tiến gần đến một giá trị không đổi. Trong hầu hết các trường hợp, vũ trụ phát triển các dạng hình học tuyệt đẹp, một số giống hình học Euclide tiêu chuẩn mà chúng ta đã học ở trung cấp, một số rất khác. Nhưng một vài con đường dẫn dắt các giọt nước rơi xuống núi lại tạo ra vấn đề – các yếu tố di chuyển dọc theo nó tạo ra các vùng ác tính về mặt toán học cắt ngang dòng chảy hoặc tệ hơn. Không vấn đề gì, diễn giả khẳng định, chúng tôi có thể di chuyển những con đường đó và ông phác thảo phương pháp.

Khán giả bị thu hút tới buổi nói chuyện bởi một bài báo mà Perelman đã đưa lên mạng tháng mười một năm ngoái. Trong phần cuối cùng của bài báo, anh nêu ra một luận điểm rằng mà nếu hợp lệ, sẽ chứng minh được một trong những giả thuyết nổi tiếng nhất, khó nắm bắt nhất, và đẹp nhất của toán học. Được đề ra vào năm 1904 bởi Henri Poincare, nhà toán học hàng đầu thời đó và cũng là thiên tài của mọi thời đại. Giả thuyết Poincare là một phỏng đoán táo bạo về hình dạng tiềm năng của vũ trụ chúng ta. Nhưng dù sao đó cũng chỉ là nó là phỏng đoán, không hơn. Thách thức chứng minh hay bác bỏ nó đã tạo ra một tiếng còi lôi kéo các nhà toán học và làm cho nó trở thành bài toán nổi tiếng nhất không chỉ trong hình học và tôpô nói riêng mà trong tất cả các ngành toán học. Tháng 5 năm 2000, Viện Clay, một viện dành riêng cho phát triển và phổ biến kiến thức toán học, đã liệt bài toán này vào danh sách bảy vấn đề thiên niên kỷ và đề ra phần thưởng một triệu đô la cho ai tìm ra đáp án.

Hơn một nửa khán giả trong phòng có lẽ đã từng thử lần mò đáp án cho giả thuyết Poincare. Tất cả mọi người trong khán phòng – từ những người trẻ tuổi trạc ba mươi có dáng vẻ sinh viên với mái tóc đinh ghi chép bằng tiếng Trung  Quốc, các cô gái tóc vàng với áo bó và váy ngắn, cho tới những người vừa mới chạy bộ trong quần short rộng thùng thình với áo phông còn đẫm mồ hôi, các cụ già khoảng tám mươi với đôi mắt ươn ướt diện áo lạnh xương cá nhuộm màu phấn trắng của mấy chục năm trên giảng đường – biết rằng họ đang có khả năng chứng kiến một cột mốc quan trọng trong di sản toán học ba ngàn năm tuổi. Toán học hiện nay là một quá trình lao động cần cù của cả nhân loại từ thời đại này đến thời đại khác, đã trải qua những giai đoạn thành công rực rỡ nhưng cũng không ít thời gian khốn cùng, từ những người Babylon không tên tuổi tìm ra cách tính diện tích hình tròn cho đến  những khám phá mộc mạc nhưng hoàn hảo của Euclid và hai thế kỷ gần đây là sự trổ hoa của hình học và topo.

Hai tuần sau đó, tại một cơ sở hàng đầu trong khu Stony Brook của Đại học bang New York một cảnh tượng tương tự lại xảy ra. Giảng đường thậm chí còn đông hơn nữa. Lần này, một số phóng viên cũng có mặt trong phòng. Các phóng viên nghe nói rằng Perelman đã thực hiện một khám phá mang tính đột phá liên quan đến hình dạng của vũ trụ, và rằng có thể anh sẽ đạt được giải thưởng một triệu đô la. Họ cũng đã nghe nói về con đường sự nghiệp huyền bí của anh, làm sao anh đột nhiên được chú ý trong thập kỷ trước, thiên tài được công nhận và tương lai lại không rõ ràng của anh. Một ánh đèn flash lóe sáng. “Đừng” Perelman gắt lên, rõ ràng khó chịu.

Nhà toán học kiên nhẫn trả lời tất cả câu hỏi từ khán giả sau bài giảng của mình. Những câu hỏi khá dữ dội. “Nhưng kết quả sẽ nổ tung trong thời gian hữu hạn”, một tiếng nói từ giữa phòng. “Không sao,” Perelman trả lời, “ta có thể cắt nó ra và khởi động lại dòng chảy.” Đám đông im lặng, sau đó một vài cái gật đầu đồng tình. Thính giả rất thận trọng, xem xét kỹ những gì họ nghe. Họ sẽ phải suy ngẫm lời của anh trong nhiều tháng tới, nhưng điều này có vẻ đầy hứa hẹn.

Nhiều kỹ thuật toán học mà Perelman sử dụng có thể đã không được hiểu rõ ba thập kỷ trước đây. Các kỹ thuật mà anh sử dụng rất mới vừa được phát triển gần đây và phụ thuộc rất nhiều vào công việc của một số người trong nhóm thính giả. Bầu không khí căng thẳng. Mọi người đều biết các lập luận của diễn giả rất tế nhị, tinh tế, nhưng cũng rất dễ tan thành mây khói. Không ai muốn điều đó xảy ra. Một trang web được bung lên, quản lý bởi hai giáo sư, Bruce Kleiner và John Lott, tại  khoa toán học dị thường của Đại học Michigan. Trang web có liên kết đến các bài báo của Perelman. Các nhà toán học trên khắp thế giới đã viết thêm nhận xét, làm rõ các luận điểm tối nghĩa và mở rộng thêm trên đoạn đường dường như quá ngắn ngủi mà Perelman đã khai phá.

Hầu hết các nhà toán học, cho nghiên cứu hình học hay không, biết ai đó ở trong buổi diễn thuyết và chờ đợi thông tin từ họ. Hầu hết khán giả ghi chú lại bài giảng cho riêng  họ và cho bạn bè. Hai trong đó, Christina Sormani, một giáo sư trẻ tuổi tại Lehmann College, và Yair Minsky, một giáo sư mới nổi tại Yale, đã đăng bản chép tay của họ trên trang Web, vì vậy mà ai cũng có thể truy cập.

Cũng như tại MIT, tất cả mọi người trong phòng, trẻ và già, ngoại trừ các phóng viên, nhận ra rằng những gì họ được nghe là đỉnh điểm thăng hoa của hơn một thế kỷ đơm hoa kết trái tư tưởng toán học trong lịch sử loài người. Bài giảng yêu cầu sự tập trung tuyệt đối, không có không gian cho những suy nghĩ vu vơ. Mặc dù vậy, hầu hết mọi người đều suy nghĩ về một sự kiện hoặc bài báo rất đặc biệt gần đây hay lâu rồi có liên quan đến công trình của Poincare hoặc là nghĩ về một người nào đó có thể đã chết từ lâu nhưng rất muốn nghe buổi nói chuyện này. Tất cả đều vui mừng trong không giao bao trùm những ý tưởng tốt đẹp, trong sáng và những con đường khám phá đầy hứa hẹn.

Cánh phóng viên, mặt khác, muốn biết về một triệu đô la. Perelman cảm thấy thế nào về khả năng đoạt giải? Có thông tin lộ ra là anh không quan tâm về phần thưởng, vì vậy cánh phóng viên thay đổi cách tiếp cận và viết những câu chuyện về một người Nga sống ẩn dật thực hiện một khám phá toán học mang tính đột phá, và đoán rằng anh sẽ từ chối giải thưởng. Perelman bổ sung thêm một số chi tiết trong các buổi thảo luận được tổ chức vội vàng vài ngày sau đó. Nhưng anh từ chối tất cả các cuộc phỏng vấn với phóng viên và trở về Saint Petersburg vài tuần sau đó mà không một lời phúc đáp lời mời của các trường đại học hàng đầu nước Mỹ.

Giả thuyết Poincare và chứng minh Perelman là một trong những thành tựu vĩ đại nhất của thời đại chúng ta. Nó cho chúng ta biết nhiều về bản chất và hình dạng của vũ trụ. Phương trình dòng chảy Ricci mà Perelman đã viết, một loại phương trình nhiệt, là một họ hàng xa của phương trình Black-Scholes mà những người giao dịch chứng khoán trên khắp thế giới sử dụng để định giá cổ phiếu và các tùy chọn trái phiếu. Nhưng độ cong phức tạp hơn nhiều so với nhiệt độ hay tiền bạc. Chương tiếp theo sẽ giải thích độ cong là một đối tượng hình học đòi hỏi  nhiều hơn một giá trị để mô tả nó, và phương trình dòng chảy Ricci mà Perelman sử dụng là viết tắt cho sáu phương trình liên kết, một chiến thắng của sự đơn giản, thanh tao. Phương trình tương tự gần nhất là phương trình Einstein của thuyết tương đối rộng thể hiện độ cong của không-thời gian.

Giả thuyết Poincare kể về câu chuyện của toán học đằng sau giả thuyết và chứng minh. Bàn luận về toán học một cách đúng đắn không chỉ là bàn về các kết quả mà cả những nhân vật mang đến những kết quả đó. Trong phạm vi quần chúng, các thành tựu toán học thường phản ánh một truyền thuyết lãng mạn của một thiên tài đơn độc đã anh dũng giành giật sự hiểu biết từ một vũ trụ vô cảm. Họ chính là những người có cái nhìn dường như đến từ hư không với một tay thay đổi những trật tự xã hội ít nhất là trong vài thập kỷ sau đó. Tuy nhiên, cũng như vẻ đẹp và sự huyền bí của các thiên tài, tiến bộ toán học cũng phụ thuộc vào hàng ngàn cá nhân khác, các tổ chức và các xã hội mà ở đó họ làm việc và sinh sống. Quá khứ sẽ kể hết thực hư. Câu chuyện bắt đầu từ Babylon năm ngàn năm trước đến ngày nay tại Saint Petersburg, phía bắc bang New York, và Madrid. Câu chuyện kể về các cuộc khám phá, chiến tranh, xã hội khoa học, sự xuất hiện của các trường đại học nghiên cứu ở Đức và gần đây nhất là M, cũng truy tìm lịch sử hình học, khám phá ra hình học phi-Euclide,  khai sinh của topo và hình học vi phân thông qua năm thiên niên kỷ, hàng chục tổ chức xã hội , con người, và hàng trăm cá nhân.

(Lược dịch “The Poincaré conjecture – In search of the shape of the universe” Donal O’Shea)

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s